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随着数理巴巴全球数学竞赛的初赛开始,姜如烟走到电脑前坐下,深吸了一口气,然后平复自己的心情。
整个考试在线上进行,试卷题目有七题,姜如烟迅速浏览了一遍题目,然后开始了解题。【问题1 ,几位同学假期组成一个小组去某市旅游,该市有6座塔,它们的位置分别为A, B,C,D,E, F.同学们自由行动一段时间后,每位同学都发现,自己在所在的位置只能看到位于A,B,C,D处的四座塔,而看不到位于E和F的塔.已知
(1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点,且这些点彼此不重合;(2) A,B,C,D,E,F中任意3点不共线;
(3)看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡,例如,如果某位同学所在的位置P
和A,B共线,且A在线段PB上,那么该同学就看不到位于B处的塔.请问,这个旅游小组最多可能有多少名同学?(A) 3 (B) 4 ( 6 (D) 12 】
姜如烟的大脑在数之气的强化下,变得异常敏锐。她迅速地分析着题目中的条件,将复杂的文字信息转化为几何图形和逻辑关系。
“首先,每位同学都看不到E和F两座塔,这意味着他们的视线被A、B、C、D四座塔中的至少两座所阻挡。”姜如烟在心中构建起这个问题的几何模型。
她继续推理:“由于任意三座塔不共线,E和F两座塔的视线被不同的塔阻挡,所以每位同学的位置必然位于由A、B、C、D四座塔构成的某些特定直线的延长线上。”
姜如烟在脑海中画出了EA和FB的延长线,以及EB和FA的延长线。她意识到,如果EA和FB的延长线相交,那么这个交点将决定一位同学的位置。同理,EB和FA的延长线相交也会决定另一位同学的位置。
“但是,由于A、B、C、D四座塔不共线,EA和FB的延长线相交,以及EB和FA的延长线相交,都将位于这四座塔构成的凸四边形的内部。”姜如烟继续分析,“这意味着,对于任意两座塔,最多只能有一位同学的视线被它们阻挡。”
她进一步思考:“在A、B、C、D四座塔中任取两座塔,有C(4,2)=6种组合方式,所以理论上最多可以有6位同学,他们的位置分别位于这6种组合的交点上。”
姜如烟的脑海中浮现出了一个图形,其中有6个点P、Q、R、S、T、U,分别位于EA和FB
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